ज्यामितीय प्रगति (PG)
ज्यामितीय प्रगति (PG) क्या है:
यह एक संख्यात्मक अनुक्रम है जिसमें प्रत्येक शब्द, दूसरे से, पीजी के अनुपात के रूप में संप्रदायित एक निरंतर q द्वारा पिछले शब्द के गुणन का परिणाम है।
ज्यामितीय प्रगति का उदाहरण
संख्यात्मक अनुक्रम (5, 25, 125, 625 ...) एक बढ़ता हुआ पीजी है, जहां q = 5 है। यही है, इस पीजी के प्रत्येक शब्द, इसके अनुपात ( q = 5) से गुणा किया जाता है, निम्नलिखित पद में परिणाम देता है।
एक पीजी का अनुपात (क्यू) खोजने के लिए सूत्र
क्रिसेंट पीजी (2, 6, 18, 54 ...) के भीतर एक निरंतर ( q ) स्थिर अभी तक अज्ञात है। इसे खोजने के लिए, किसी को PG की शर्तों पर विचार करना चाहिए, जहां: (2 = a1, 6 = a2, 18 = a3, 54 = a4, ... a), उन्हें निम्नलिखित सूत्र में लागू करते हैं:
q = एक 2/1
इस प्रकार, इस पीजी के कारण को खोजने के लिए, सूत्र निम्नानुसार विकसित किया जाएगा: क्यू = एक 2/3 = 6/2 = 3।
उपरोक्त पीजी का अनुपात ( क्यू ) 3 है।
क्योंकि एक PG का अनुपात स्थिर है, अर्थात, सभी शब्दों के लिए सामान्य है, हम इसके सूत्र को विभिन्न शब्दों के साथ काम कर सकते हैं, लेकिन इसे हमेशा अपने पूर्ववर्ती द्वारा विभाजित करते हैं। यह याद करते हुए कि पीजी का अनुपात शून्य (0) को छोड़कर, कोई भी तर्कसंगत संख्या हो सकती है।
उदाहरण: q = एक 4/3, जो उपरोक्त PG के अंदर भी q = 3 में परिणाम करता है।
पीजी जनरल टर्म खोजने के लिए फॉर्मूला
पीजी में किसी भी शब्द को खोजने के लिए एक मूल सूत्र है। उदाहरण के लिए, पीजी (2, 6, 18, 54, ए ...) के मामले में, जहां n को पांचवें या nth शब्द या 5 के रूप में नामित किया जा सकता है, अभी भी अज्ञात है। यह या अन्य शब्द खोजने के लिए, सामान्य सूत्र का उपयोग किया जाता है:
a n = a m ( q ) nm
व्यावहारिक उदाहरण - पीजी के सामान्य शब्द का सूत्र विकसित हुआ
यह ज्ञात है कि :
n कोई अज्ञात शब्द पाया जाना है;
एक पीजी का पहला पद है (या कोई अन्य, यदि पहला पद मौजूद नहीं है);
क्यू पीजी का अनुपात है;
इसलिए, पीजी (2, 6, 18, 54, ए ...) में, जहां पांचवें कार्यकाल ( 5 ) की मांग की जाती है, सूत्र निम्नलिखित तरीके से विकसित किया जाएगा:
a n = a m ( q ) nm
5 = 1 (q) 5-1 पर
5 = 2 (3) 4 पर
5 = 2.81 पर
5 = 162 पर
इस प्रकार, एक पाता है कि पीजी (2, 6, 18, 54, एक एन ...) का पांचवां शब्द ( 5 ) = 162 है।
यह याद रखने योग्य है कि किसी अज्ञात शब्द को खोजने के लिए पीजी के कारण का पता लगाना महत्वपूर्ण है। ऊपर पीजी के मामले में, उदाहरण के लिए, अनुपात पहले से ही 3 के रूप में जाना जाता था।
ज्यामितीय प्रगति वर्गीकरण
क्रिसेंट ज्यामितीय प्रगति
एक पीजी के लिए बढ़ती हुई माना जाता है, इसका अनुपात हमेशा सकारात्मक रहेगा और इसकी संख्या बढ़ती जा रही है, यानी संख्यात्मक अनुक्रम में बढ़ती जा रही है।
उदाहरण: (1, 4, 16, 64 ...), जहां q = 4
आरोही पीजी में सकारात्मक शब्दों के साथ, q > 1 और नकारात्मक शब्दों के साथ 0 < q <1 है।
ज्यामितीय घटती प्रगति
एक पीजी को कम करने के लिए माना जाता है, इसका अनुपात हमेशा सकारात्मक और गैर-शून्य होगा और इसकी संख्या संख्यात्मक अनुक्रम के भीतर घट जाती है, अर्थात वे घट जाती हैं।
उदाहरण: (200, 100, 50 ...), जहाँ q = 1/2
सकारात्मक शब्दों के साथ घटते पीजी में, 0 < q <1 और नकारात्मक शब्दों के साथ, q > 1।
दोलन ज्यामितीय प्रगति
एक PG के लिए दोलन माना जाता है, इसका अनुपात हमेशा ऋणात्मक ( q <0) होगा और इसकी शर्तें ऋणात्मक और धनात्मक के बीच वैकल्पिक होंगी।
उदाहरण: (-3, 6, -12, 24, ...), जहाँ q = -2
लगातार ज्यामितीय प्रगति
एक पीजी के लिए स्थिर या स्थिर माना जाता है, इसका अनुपात हमेशा एक ( q = 1) के बराबर होगा।
उदाहरण: (2, 2, 2, 2 ...), जहाँ q = 1।
अंकगणितीय प्रगति और ज्यामितीय प्रगति के बीच अंतर
पीजी की तरह, बीपी भी एक संख्यात्मक अनुक्रम द्वारा गठित किया जाता है। हालांकि, एक पीए की शर्तें अनुपात ( आर ) के साथ प्रत्येक शब्द के योग का परिणाम होती हैं, जबकि एक पीजी की शर्तें, जैसा कि ऊपर दिया गया है, प्रत्येक शब्द के अनुपात ( क्यू ) के गुणा के परिणाम हैं।
उदाहरण:
पीए (5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 ...) में अनुपात ( r ) 2 है। अर्थात्, अगले कार्यकाल में 2 परिणामों में जोड़ा गया पहला शब्द है और इसी तरह।
पीजी (3, 6, 12, 24, 48, ...) में अनुपात ( q ) भी 2 है। लेकिन इस मामले में शब्द q 2 से गुणा किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप अगला शब्द और इसी तरह होता है।
अंकगणित प्रगति का अर्थ भी देखें।
पीजी का व्यावहारिक अर्थ: इसे कहां लागू किया जा सकता है?
ज्यामितीय प्रगति कुछ के पतन या वृद्धि का विश्लेषण करने की अनुमति देती है। व्यावहारिक रूप में, पीजी हमारे दैनिक जीवन में मौजूद अन्य प्रकार के सत्यापनों के बीच, उदाहरण के लिए, थर्मल भिन्नता, जनसंख्या वृद्धि का विश्लेषण करना संभव बनाता है।
